Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=4，DC=DB=3，PB=PC=5，AD⊥DB，
（1）求证：AD⊥PB；
（2）若tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，且PA与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{12\sqrt{13}}{65}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）由已知得AD⊥PD，AD⊥DB，从而AD⊥PD，又AD⊥DB，进而AD⊥平面PBD，由此能证明AD⊥PB．
（2）以D为原点，以DA、DB、DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD．

解答 解：（1）∵PD=4，DC=DB=3，PB=PC=5，
∴由勾股定理可得：PD⊥BD，PD⊥CD，
∴由BD∩CD=D，可得PD⊥平面BCD，
∴由AD?平面BCD，可得PD⊥AD，
∵AD⊥DB，AD∩BD=D，
∴AD⊥平面PBD，
∴由PB?平面PBD，可得AD⊥PB；
（2）由（1）知，PD、AD、BD两两垂直，
以D为原点，以DA、DB、DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所求的空间直角坐标系，
设AD=λ，λ＞0，结合tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，得：
A（λ，0，0），B（0，3，0），C（-$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$，0），P（0，0，4），
∴$\overrightarrow{PA}$=（λ，0，-4），$\overrightarrow{DC}$=（-$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，0，4），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面PCD的法向量，
由题意知$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{n}=4z=0}\\{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}=-\frac{9x}{5}+\frac{12y}{5}=0}\end{array}\right.$，
取y=3，得$\overrightarrow{n}$=（4，3，0），
设PA与平面PCD所成角为θ，
∵PA与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{12\sqrt{13}}{65}$，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{4λ}{5\sqrt{{λ}^{2}+16}}$|=$\frac{12\sqrt{13}}{65}$，
解得λ=6，
∴AD=6．

点评 本题考查线面角的计算、线面、线线垂直的位置关系，考查空间想象能力，论证推理能力以及转化思想，属于中档题．