Question

18．已知等差数列{a_n}的公差不为零，a₁=3且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{${a}_{{k}_{n}}$}是以a₁为首项，3为公比的等比数列，求数列{n•k_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设的公差为d，通过${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，及a₁=3，可得a_n=3n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${a}_{{k}_{n}}=3{k}_{n}$，利用数列{${a}_{{k}_{n}}$}是以a₁为首项，3为公比的等比数列，得${k}_{n}={3}^{n-1}$，由此可得S_n及3S_n，相减即得${S}_{n}=\frac{1}{4}+\frac{{3}^{n}}{4}（2n-1）$．

解答 解：（Ⅰ）设的公差为d，由题意，${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，
即$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）$，于是d（a₁-d）=0，
因为d≠0，且a₁=3，所以d=3，故a_n=3n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${a}_{{k}_{n}}=3{k}_{n}$，
又数列{${a}_{{k}_{n}}$}是以a₁为首项，3为公比的等比数列，则${a}_{{k}_{n}}=3×{3}^{n-1}={3}^{n}$，
所以$3{k}_{n}={3}^{n}$，即${k}_{n}={3}^{n-1}$．
因此S_n=1×3⁰+2×3¹+3×3²+…+n×3^n-1     ①
则$3{S}_{n}=1×{3}^{1}+2×{3}^{2}+3×{3}^{3}+…+n×{3}^{n}$      ②
由①-②得-2S_n=1+3+3²+…+3^n-1-n×3ⁿ
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}-n×{3}^{n}$
=$-\frac{1}{2}-（n-\frac{1}{2}）×{3}^{n}$，
因此${S}_{n}=\frac{1}{4}+\frac{{3}^{n}}{4}（2n-1）$．

点评 本题考查求数列的通项公式、前n项和，注意挖掘隐含条件、积累解题方法，属于中档题．