Question

17．已知△ABC的三边AB、BC、CA所在直线方程分别为3x+y-2=0，2x-3y-1=0，x-y-3=0，求：
（1）顶点A、B、C的坐标；
（2）△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）分别联立直线方程构成的方程组，求解方程组得答案；
（2）由（1）中求出的点的坐标求得AC的长度，再由点到直线的距离公式求出B到AC的距离，代入三角形的面积公式得答案．

解答 解：（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-2=0}\\{2x-3y-1=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{11}}\\{y=\frac{1}{11}}\end{array}\right.$，∴B（$\frac{7}{11}，\frac{1}{11}$）；
联立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-2=0}\\{x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{4}}\\{y=-\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，∴A（$\frac{5}{4}，-\frac{7}{4}$）；
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y-1=0}\\{x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=5}\end{array}\right.$，∴C（8，5）．
∴顶点A、B、C的坐标分别为：A（$\frac{5}{4}，-\frac{7}{4}$），B（$\frac{7}{11}，\frac{1}{11}$），C（8，5）；
（2）|AC|=$\sqrt{（8-\frac{5}{4}）^{2}+（5+\frac{7}{4}）^{2}}=\frac{27\sqrt{2}}{4}$，
B（$\frac{7}{11}，\frac{1}{11}$）到直线AC：x-y-3=0的距离为d=$\frac{|\frac{7}{11}-\frac{1}{11}-3|}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{22}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\frac{27\sqrt{2}}{4}×\frac{5\sqrt{2}}{22}$=$\frac{135}{88}$．

点评 本题考查了两条直线的交点坐标，考查了点到直线的距离公式，是基础题．