Question

7．已知S_n和T_n分别为数列{a_n}与数列{b_n}的前n项的和，且a₁=e⁴，S_n=eS_n+1-e⁵，a_n=e^b_n（n∈N^*）．则当T_n取得最大值时，n的值为4或5．

Answer 1

分析 根据数列性质得出$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{e}$，n≥2，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{e}$．数列{a_n}是等比数列．得出b_n=lne^5-n=5-n．运用等差数列公式判断即可．

解答 解：S_n和T_n分别为数列{a_n}与数列{b_n}的前n项和，
S_n=eS_n+1-e⁵，S_n-1=eS_n-e⁵，n≥2，
相减得出：a_n=ea_n+1，
$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{e}$，n≥2，
∵a₁=e⁴，S_n=eS_n+1-e⁵，
∴a₂=e³，
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{e}$．
∴数列{a_n}是等比数列．
a_n=e^5-n，
∵a_n=e^b_n（n∈N^*）．
∴b_n=lne^5-n=5-n．
∵b_n+1-b_n=-1．
∴数列{b_n}是等差数列．
∴T_n=$\frac{n（4+5-n）}{2}$=$\frac{n（9-n）}{2}$，对称轴n=$\frac{9}{2}$
根据函数的性质得出：n=5，n=4时最大值．
故答案为：4或5．

点评 本题考查了数列的性质，判断数列的等比性，求和公式的运用，结合函数的性质判断单调性，最值．属于中档题．