Question

15．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{y≤6}\\{4x-3y+4≤0}\end{array}\right.$，若不等式ax³y≤x⁴-y⁴恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，-26$\frac{2}{3}$]．

Answer 1

分析 由题意作出其平面区域，从而可化ax³y≤x⁴-y⁴为a≤$\frac{x}{y}$-$\frac{{y}^{3}}{{x}^{3}}$；而$\frac{y}{x}$的几何意义是阴影内的点（x，y）与点O（0，0）的连线的斜率，从而利用单调性求最值即可．

解答 解：由题意作出其平面区域，

易知x＞0，y＞0；
故ax³y≤x⁴-y⁴可化为a≤$\frac{x}{y}$-$\frac{{y}^{3}}{{x}^{3}}$；
而$\frac{y}{x}$的几何意义是阴影内的点（x，y）与点O（0，0）的连线的斜率，
而A（2，6），B（3.5，6）；
故k_OB=$\frac{6-0}{3.5-0}$=$\frac{12}{7}$，k_OA=$\frac{6-0}{2-0}$=3；
故$\frac{12}{7}$≤$\frac{y}{x}$≤3；
故当$\frac{y}{x}$=3时，$\frac{x}{y}$-$\frac{{y}^{3}}{{x}^{3}}$有最小值$\frac{1}{3}$-3³=-26$\frac{2}{3}$；
故a≤-26$\frac{2}{3}$；
故实数a的取值范围是（-∞，-26$\frac{2}{3}$]．
故答案为：（-∞，-26$\frac{2}{3}$]．

点评 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，同时考查了恒成立问题，属于中档题．