Question

4．求证：△ABC的三条高线交于一点．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用两点的连线的斜率公式求出AB的斜率，利用两直线垂直斜率互为倒数得到AB边上的高的斜率，利用点斜式求出AB边的高的方程，同理求出AC边上的高，两高线的方程联立得到高线的交点．

解答 证明：取△ABC最长一边BC所在的直线为X轴，经过A的高线为Y轴，设A、B、C的坐标分别为A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），根据所选坐标系，如图，有a＞0，b＜0，c＞0，AB的方程为$\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$，其斜率为-$\frac{a}{b}$，AC的方程为$\frac{x}{c}+\frac{y}{a}=1$，其斜率为-$\frac{a}{c}$，
高线CE的方程为y=$\frac{b}{a}$（x-c）（1）高线BD的方程为y=$\frac{c}{a}$（x-b）（2）．
解（1）、（2），得：（b-c）x=0
∵b-c≠0∴x=0
即高线CE、BD的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO上．
因此，三条高线交于一点．

点评 本题考查通过建立直角坐标系将问题转化为代数问题、考查两点连线的斜率公式、考查两直线垂直斜率乘积为-1、考查两直线的交点坐标的求法．