Question

19．已知在平面直角坐标系中，角θ满足sin$\frac{θ}{2}$=-$\frac{3}{5}$，cos$\frac{θ}{2}$=$\frac{4}{5}$，$\overrightarrow{OA}$=（0，1），点B是角θ终边上一点，且|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，且x+y=1，则|$\overrightarrow{OP}$|的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

Answer 1

分析 由条件利用二倍角公式求得cosθ 和sinθ 的值，根据任意角的三角函数的定义求得B的坐标．再根据平面向量基本定理及其几何意义，点P在直线AB上，再利用点到直线的距离公式，求出O到直线AB的距离，即为所求．

解答 解：由角θ满足sin$\frac{θ}{2}$=-$\frac{3}{5}$，cos$\frac{θ}{2}$=$\frac{4}{5}$，可得cosθ=2${cos}^{2}\frac{θ}{2}$-1=$\frac{7}{25}$，sinθ=2sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=-$\frac{24}{25}$．
∵点B是角θ终边上一点，且|$\overrightarrow{OB}$|=1，可得B（$\frac{7}{25}$，-$\frac{24}{25}$）．
∵$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，且x+y=1，故点P在直线AB上．
故则|$\overrightarrow{OP}$|的最小值是点O到直线AB的距离，由于AB的方程为$\frac{y-1}{-\frac{24}{25}-1}$=$\frac{x-0}{\frac{7}{25}-0}$，即 7x+y-1=0，
故|$\overrightarrow{OP}$|的最小值是$\frac{|0+0-1|}{\sqrt{50}}$=$\frac{\sqrt{50}}{50}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查二倍角公式，任意角的三角函数的定义，平面向量基本定理及其几何意义，点到直线的距离公式，体现了转化的数学思想，属于中档题．