Question

12．△ABC所在平面内存在一点M，使得|$\overrightarrow{MA}$|²+|$\overrightarrow{MB}$|²+|$\overrightarrow{MC}$|²的值最小，则点M一定是△ABC的（　　）

• A． 内心
• B． 外心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 设点G是△ABC的重心，利用$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{MG}$+$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MG}$+$\overrightarrow{GB}$，$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{MG}$+$\overrightarrow{GC}$，求出${\overrightarrow{MA}}^{2}$+${\overrightarrow{MB}}^{2}$+${\overrightarrow{MC}}^{2}$的表达式的最小值，得出点M与点G重合．

解答 解：设G是△ABC的重心，则$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{MG}$+$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MG}$+$\overrightarrow{GB}$，$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{MG}$+$\overrightarrow{GC}$，
∴${\overrightarrow{MA}}^{2}$+${\overrightarrow{MB}}^{2}$+${\overrightarrow{MC}}^{2}$=${\overrightarrow{GA}}^{2}$+${\overrightarrow{GB}}^{2}$+${\overrightarrow{GC}}^{2}$+3${\overrightarrow{MG}}^{2}$+2$\overrightarrow{MG}$•（$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$）
=${\overrightarrow{GA}}^{2}$+${\overrightarrow{GB}}^{2}$+${\overrightarrow{GC}}^{2}$+3${\overrightarrow{MG}}^{2}$；
∴${\overrightarrow{MA}}^{2}$+${\overrightarrow{MB}}^{2}$+${\overrightarrow{MC}}^{2}$≥${\overrightarrow{GA}}^{2}$+${\overrightarrow{GB}}^{2}$+${\overrightarrow{GC}}^{2}$，
当且仅当$\overrightarrow{MG}$=$\overrightarrow{0}$时“=”成立，
即点M与点G重合时．
∴M为△ABC的重心．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的应用问题以及三角形的重心公式的应用问题，是基础题目．