Question

15．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=3ⁿ-$\frac{1}{2}$，求证：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+$\frac{3}{{a}_{3}}$+…+$\frac{n}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由于${3}^{n}-\frac{1}{2}＞2•{3}^{n-1}$，可得$\frac{n}{{a}_{n}}=\frac{n}{{3}^{n}-\frac{1}{2}}$$＜\frac{n}{2×{3}^{n-1}}$，令S_n=$1+\frac{2}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 证明：∵${3}^{n}-\frac{1}{2}＞2•{3}^{n-1}$，
∴$\frac{n}{{a}_{n}}=\frac{n}{{3}^{n}-\frac{1}{2}}$$＜\frac{n}{2×{3}^{n-1}}$，
令S_n=$1+\frac{2}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{3}{S}_{n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}+\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{2}{3}{S}_{n}$=1+$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）-\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{9}{4}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）-\frac{n}{2×{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+$\frac{3}{{a}_{3}}$+…+$\frac{n}{{a}_{n}}$＜$\frac{9}{8}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）-\frac{n}{4×{3}^{n-1}}$$＜\frac{9}{8}$＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．