Question

1．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}a{x^3}+（{a-2}）x+c$的图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）已知f′（x）是函数f（x）的导函数．?若数列{a_n}的通项${a_n}=\frac{1}{{f'（{n+1}）}}$，求其前n项和S_n；?若$g（x）=\frac{kf'（x）}{x}-2lnx$在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据函数的图象结合函数的极值即可求函数y=f（x）的解析式；
（2）求出数列的通项公式，利用裂项法进行求和．结合函数单调性和导数之间的关系转化为求函数的最值问题即可．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=ax²+a-2，
由图象可知f（x）的图象过点（0，3），且f′（1）=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{2a-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=3}\end{array}\right.$，即f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-x+3$．
（2）∵f′（x）=x²-1，
∴${a_n}=\frac{1}{{f'（{n+1}）}}$=$\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
则前n项和S_n=$\frac{1}{2}$（1$-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$$-\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．
∵若$g（x）=\frac{kf'（x）}{x}-2lnx$=kx-$\frac{k}{x}$-2lnx，
∴g′（x）=k+$\frac{k}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$=$\frac{k{x}^{2}+k-2x}{{x}^{2}}$，
∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），
∴若函数g（x）在其定义域上为增函数，
则g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即k≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，（x＞0），
则h（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}≤\frac{2}{2}=1$，
当且仅当x=1时，取等号，
∴k≥1，
故k的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题主要考查综合考查函数解析式的求解以及数列求和的计算，利用裂项法以及参数分类法是解决本题的关键．