Question

5．已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y²=4$\sqrt{5}$x的焦点，离心率是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆E相交于A、B两点，且在x轴上存在点M，使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$与k的取值无关，试求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）椭圆的焦点在x轴上，且a=$\sqrt{5}$，e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，故c、b可求，所以椭圆E的方程可以写出来．
（2）将y=k（x+1），代入方程E可得关于x的一元二次方程（*）；设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），由方程（*）根与系数的关系可得，x₁+x₂，x₁x₂；计算$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$得关于m、k的代数式，要使这个代数式与k无关，可以得到m的值；从而得点M．

解答 解：（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=$\sqrt{5}$，…1分
c=e•a=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$×$\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{30}}{3}$，
故b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{5-\frac{10}{3}}$=$\sqrt{\frac{5}{3}}$，…4分
所以，椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{3}}=1$，即x²+3y²=5…6分
（2）将y=k（x+1）代入方程E：x²+3y²=5，得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0；…7分
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），则
x₁+x₂=-$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-5}{3{k}^{2}+1}$；…8分
∴$\overrightarrow{MA}$=（x₁-m，y₁）=（x₁-m，k（x₁+1）），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-m，y₂）=（x₂-m，k（x₂+1））；
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²
=m²+2m-$\frac{1}{3}$-$\frac{6m+14}{3（3{k}^{2}+1）}$，
要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=-$\frac{7}{3}$；
∴存在点M（-$\frac{7}{3}$，0）满足题意…13分

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力，属于中档题．