Question

13．已知圆x²+y²=$\frac{{a}^{2}}{16}$上点E处的一条切线l过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点F，且与双曲线的右支交于点P，若$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），则双曲线的离心率是$\frac{\sqrt{26}}{4}$．

Answer 1

分析 连接OE，设右焦点为F'，连接PF'，则OE⊥PF，由条件可得E为PF的中点，运用中位线定理和双曲线的定义，可得PF'，PF的长，再由勾股定理和离心率公式计算即可得到．

解答 解：连接OE，设右焦点为F'，连接PF'，
则OE⊥PF，
若$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），
则E为PF的中点，
由中位线定理可得|PF'|=2|OE|=$\frac{a}{2}$，
且PF⊥PF'，
由双曲线的定义可得|PF|-|PF'|=2a，
即有|PF|=$\frac{5a}{2}$，
则有|PF|²+|PF'|²=|FF'|²，
即为$\frac{25}{4}$a²+$\frac{1}{4}$a²=4c²，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{26}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{26}}{4}$．

点评 本题考查能双曲线的定义、方程和性质，同时考查向量的中点表示和直线和圆相切的条件以及离心率的求法，运用中位线定理是解题的关键．