Question

17．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1
（1）求函数f（x）的最小正周期和函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=2sin（π-C）．△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求边长a的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由正弦函数的周期性及单调性即可得解．
（2）由（1）可得f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，由0＜A＜π，可得2A+$\frac{π}{6}$的范围，从而可求A的值．又sinB=2sin（π-C）=2sinC，可求b=2c，根据三角形面积公式可求b，c的值，由余弦定理即可求a的值．

解答 解：（1）∵（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$…3分
∵2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z．
∴可解得：k$π-\frac{π}{3}$≤x≤kπ$+\frac{π}{6}$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间是：[k$π-\frac{π}{3}$，kπ$+\frac{π}{6}$]，k∈Z…6分
（2）∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，0＜A＜π，
∴2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，∴A=$\frac{π}{3}$，…9分
又∵sinB=2sin（π-C）=2sinC，∴b=2c，又∵△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$，∴bc=8，∴c=2，b=4，
∴a²=b²+c²-bc=16+4-8=12，∴a=2$\sqrt{3}$，
∴边长a的值为2$\sqrt{3}$…13分．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的周期性与单调性，三角形面积公式以及余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围，属于中档题．