Question

8．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点恰为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F₂，双曲线C的左焦点为F₁，若以F₂为圆心的圆过点F₁及双曲线C与该抛物线的交点，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． 1+$\sqrt{3}$
• D． 2+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出交点坐标（c，±2c）代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，即可求出双曲线C的离心率．

解答 解：设交点坐标（x，y），则
由题意，$\frac{p}{2}=c$，∴p=2c．
∵以F₂为圆心的圆过点F₁及双曲线C与该抛物线的交点，
∴x+$\frac{p}{2}$=2c，∴x=c，
∴y²=2pc=4c²，∴y=±2c，
（c，±2c）代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴e⁴-6e²+1=0，
∵e＞1，
∴e=1+$\sqrt{2}$

点评 本题考查双曲线C的离心率，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，确定以F₂为圆心的圆过点F₁及双曲线C与该抛物线的交点坐标是关键．