Question

1．已知数列{a_n}前几项和S_n，S_n-S_n-2=3（-$\frac{1}{2}$）^n-1（n≥3），且S₁=1，S₂=-$\frac{3}{2}$，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由已知递推式得${S}_{2n}={S}_{2}-3[（\frac{1}{2}）^{2n-1}+（\frac{1}{2}）^{2n-3}+…+（\frac{1}{2}）^{3}]$=$-2+（\frac{1}{2}）^{2n-1}$，${S}_{2n+1}={S}_{1}+3[（\frac{1}{2}）^{2n}+（\frac{1}{2}）^{2n-2}+…+（\frac{1}{2}）^{2}]$=$2-（\frac{1}{2}）^{2n}$（n≥1），然后作差分别求出a_2n+1和a_2n后得答案．

解答 解：当数列含有偶数项时，有：
${S}_{2n}-{S}_{2n-2}=-3•（\frac{1}{2}）^{2n-1}$，
${S}_{2n-2}-{S}_{2n-4}=-3•（\frac{1}{2}）^{2n-3}$，
…
${S}_{4}-{S}_{2}=-3•（\frac{1}{2}）^{3}$，
累加得${S}_{2n}={S}_{2}-3[（\frac{1}{2}）^{2n-1}+（\frac{1}{2}）^{2n-3}+…+（\frac{1}{2}）^{3}]$=$-2+（\frac{1}{2}）^{2n-1}$，
当数列含有奇数项时，有：
${S}_{2n+1}-{S}_{2n-1}=3•（\frac{1}{2}）^{2n}$，
${S}_{2n-1}-{S}_{2n-3}=3•（\frac{1}{2}）^{2n-2}$，
…
${S}_{3}-{S}_{1}=3•（\frac{1}{2}）^{2}$．
累加得${S}_{2n+1}={S}_{1}+3[（\frac{1}{2}）^{2n}+（\frac{1}{2}）^{2n-2}+…+（\frac{1}{2}）^{2}]$=$2-（\frac{1}{2}）^{2n}$（n≥1），
∴${a}_{2n+1}={S}_{2n+1}-{S}_{2n}=4-3•（\frac{1}{2}）^{2n}（n≥1）$，
${a}_{2n}={S}_{2n}-{S}_{2n-1}=-4+3•（\frac{1}{2}）^{2n-1}（n≥1）$．
又a₁=S₁=1，
综上，${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{4-3•（\frac{1}{2}）^{n+1}，n是奇数}\\{-4+3•（\frac{1}{2}）^{n-1}，n是偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的性质，解题时要注意计算能力的培养，着重考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．