Question

11．已知cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{3}{5}$，$\frac{17π}{12}$＜α＜$\frac{7}{4}$π，求$\frac{sin2α（1+tanα）}{1-tanα}$的值．

Answer 1

分析 由α的范围求出$\frac{π}{4}$+α的范围，根据cos（$\frac{π}{4}$+α）的值求出sin（$\frac{π}{4}$+α）的值，利用两角和与差的正弦函数公式求出sinα与cosα的值，原式利用同角三角函数间基本关系化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答 解：∵cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{3}{5}$，$\frac{17π}{12}$＜α＜$\frac{7}{4}$π，
∴sin（$\frac{π}{4}$+α）=-$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sinα=sin[（$\frac{π}{4}$+α）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{4}{5}$-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，cosα=cos[（$\frac{π}{4}$+α）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
则原式=$\frac{2sinαcosα+2si{n}^{2}α}{1-\frac{sinα}{cosα}}$=$\frac{2×（-\frac{7\sqrt{2}}{10}）×（-\frac{\sqrt{2}}{10}）}{1-7}$=-$\frac{7}{150}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．