Question

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望.

Answer 1

(I)；(II)分布列详见解析，期望为.

解析试题分析：(I) 3月1日至3月13日中,只有5日与8日为重度污染，再根据古典概率的求法即可得到所求概率；(Ⅱ)先确定X可能的取值0、1、2共三种,然后根据图像分别计算X为0、1及2时的概率.即可得到分布列，从而求出期望.
试题解析：设表示事件“此人于3月i日到达该市”(="1,2,,13)."
根据题意, ,且.   4分
(I)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则,
所以.
(II)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且
P(X=1)=P(A₃∪A₆∪A₇∪A₁₁)= P(A₃)+P(A₆)+P(A₇)+P(A₁₁)= ,
P(X=2)=P(A₁∪A₂∪A₁₂∪A₁₃)= P(A₁)+P(A₂)+P(A₁₂)+P(A₁₃)= ,
P(X="0)=1-P(X=1)-P(X=2)=" ,   10分
所以X的分布列为:
        11分
故X的期望.   12分
考点：1.古典概率；2.分布列与期望.