Question

已知函数f(x)=

ax-1

ax+1

，其中a＞0且a≠1．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由解析式求出函数的定义域，再化简f（-x），判断与f（x）的关系，再下结论；
（2）取值x₁＜x₂，再作差f（x₁）-f（x₂）并代入解析式化简，对a分类后讨论式子的符号，再得到“f（x₁）-f（x₂）”的符号，根据函数单调性的定义下结论．

解答：解：（1）由题意得f（x）的定义域为R，
且f(-x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-

ax-1

ax+1

=-f(x)，-------------（2分）
∴f（x）是奇函数．------------------------------------------------（4分）
证明：（2）设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

ax1-1

ax1+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

．--------------------（6分）
当a＞1时，ax1-ax2＜0，得f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
这时f（x）在R上是增函数；-------------------------------------------------------------（9分）
当0＜a＜1时，ax1-ax2＞0，得f（x₁）-f（x₂）＞0，即 f（x₁）＞f（x₂），
这时f（x）在R上是减函数．-----------------------------------------（12分）

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断方法，都是利用了定义证明，证明单调性时注意变形要彻底，直到能容易的判断出符号为止，考查了分类讨论思想．