Question

【题目】在中，内角、、所对的边分别是、、，不等式对一切实数恒成立.

（1）求的取值范围；

（2）当取最大值，且的周长为时，求面积的最大值，并指出面积取最大值时的形状．（参考知识：已知、，；、，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）面积的最大值为，此时为等边三角形.

【解析】

（1）分和两种情况讨论，在时检验即可，在时，可得出，由此可求得的取值范围；

（2）由（1）知，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件判断的形状，利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.

（1），则.

当时，，原不等式即为对一切实数不恒成立；

当时，应有，

解得或（舍去）.

，则，所以，，

因此，的取值范围是；

（2），，的最大值为.

由余弦定理得，

由基本不等式可得，

（当且仅当时，等号成立）.

的面积为（当且仅当时，等号成立）.

此时，面积的最大值为，为等边三角形.