Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长是2，D是棱BC的中点，点M在棱BB₁上，且BM=B₁M，又CM⊥AC₁．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-ADC₁体积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）证明A₁B∥平面AC₁D，只需证明DE∥A₁B，利用三角形的中位线的性质可证；
（Ⅱ）先证明∠CDC₁与∠MCB互余，利用BM=B₁M，底面边长是2，求AA₁的长，利用三棱锥B₁-ADC₁体积等于三棱锥A-B₁DC₁体积，即可求得结论．
解答：（Ⅰ）证明：连接A₁C，交AC₁于点E，连接DE，则DE是△A₁BC的中位线，
∴DE∥A₁B，又DE?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
∴A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）解：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是棱BC的中点，则AD⊥平面BCC₁B₁，∴AD⊥MC，
∵CM⊥AC₁，AC₁∩AD=A
∴CM⊥平面AC₁D
∴CM⊥C₁D，∴∠CDC₁与∠MCB互余
∴tan∠CDC₁与tan∠MCB互为倒数
∵BM=B₁M，底面边长是2
∴AA₁=2
连接B₁D，则S_△B1C1D=2
∵AD⊥平面DC₁B₁，AD=
∴三棱锥B₁-ADC₁体积等于三棱锥A-B₁DC₁体积=×2×=
点评：本题考查线面平行，考查三棱锥的体积，解题的关键是利用线面平行的判定定理，利用转换底面求体积．