Question

如图，四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点。

   （1）求证：PA⊥平面ABCD；    　

   （2）求二面角E―AC―D的大小；

   （3）若F为线段BC的中点，求点D到平面PAF的距离.

Answer 1

解法一：

   （1）证明：∵底面ABCD为正方形，

∴BC⊥AB，又BC⊥PB，

    ∴BC⊥平面PAB，

∴BC⊥PA.     

同理CD⊥PA，  

∴PA⊥平面ABCD. 

   （2）解：设M为AD中点，连结EM，

又E为PD中点，

可得EM//PA，从而EM⊥底面ABCD.

过M作AC的垂线MN，垂足为N，连结EN

由三垂线定理有EN⊥AC，

∴∠ENM为二面角E―AC―D的平面角.                                  

在中，可求得   

∴.                                          

∴ 二面角E―AC―D的大小为.                               

   （3）解：过 D做AF的垂线DG，垂足为G，

∵PA⊥平面ABCD，

∴平面PAF⊥平面ABCD，

∴DG⊥平面PAF，

∴DG为点D到平面PAF的距离，                                          

由F为BC中点，可得.

又与相似，

可得，

∴.                                       

即点D到平面PAF的距离为.                                           

解法二：

   （1）证明：同解法一.      

   （2）解：建立如图的空间直角坐标系，

   

则.  

设为平面的一个法向量，

则，.

又

   令则

得m.            

又是平面ACD的一个法向量，    

设二面角E―AC―D的大小为 ，

则．

∴ 二面角的大小为.            

   （3）解：∵为中点，

∴

设n为平面PAF的一个法向量，

则n，n．

又，

 

令则.

得n．                                   

又

∴点到平面的距离.