【题目】已知椭圆 的离心率为
,且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M, O为坐标原点,直线 的斜率分别为
若成等差数列,求直线l的方程.
【答案】
(1)解: 点F的坐标为 ,由题意可得:
得
∴椭圆C的方程为
(2)解: 设点 ,又
,故直线l的方程可设为
,
由 ,得
,
.
又 成等差数列,
,即
,故直线l的方程为
,
即
【解析】(1)由椭圆的离心率可得出a与c的关系,进而可得出当点位于右顶点时到椭圆右焦点F的最小距离为:a-c=-1,再结合椭圆里
的关系求出a和b的值故得到椭圆的方程。(2)先设出直线l的方程代入椭圆的方程结合韦达定理
以及中点坐标的公式,即可求得MP的方程然后求得x0、y0关于t的代数式,再利用直线的斜率成等差数列得到关于t的方程,解出其值就求出了斜率的斜率,再利用直线的斜截式求出直线的方程。
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线的斜率(一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα).
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【题目】如图,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asinωx(A>0,ω>0)x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为 ;赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°
(1)求A,ω的值和M,P两点间的距离;
(2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?
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【题目】已知椭圆 的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合,且椭圆的离心率是
,如图所示.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A,过点A作抛物线的切线l,l与椭圆的另一个交点为B,求线段AB的长.
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【题目】如图是函数 图象的一部分.为了得到这个函数的图象,只要将y=sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
,纵坐标不变
B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
,纵坐标不变
D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
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【题目】近期“共享单车”在全国多个城市持续升温,某移动互联网机构通过对使用者的调查得出,现在市场上常见的八个品牌的“共享单车”的满意度指数如茎叶图所示:
(Ⅰ)求出这组数据的平均数和中位数;
(Ⅱ)某用户从满意度指数超过80的品牌中随机选择两个品牌使用,求所选两个品牌的满意度指数均超过85的概率.
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【题目】将圆 为参数)上的每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的
倍,得到曲线C.
(1)求出C的普通方程;
(2)设直线l:x+2y﹣2=0与C的交点为P1 , P2 , 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx,其中常数a>0. (Ⅰ)当a>2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)设定义在D上的函数y=h(x)在点P(x0 , h(x0))处的切线方程为l:y=g(x),若 >0在D内恒成立,则称P为函数y=h(x)的“类对称点”.当a=4时,试问y=f(x)是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,请说明理由.
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