【题目】已知函数f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx,其中常数a>0. (Ⅰ)当a>2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)设定义在D上的函数y=h(x)在点P(x0 , h(x0))处的切线方程为l:y=g(x),若 >0在D内恒成立,则称P为函数y=h(x)的“类对称点”.当a=4时,试问y=f(x)是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∵ ,
∴
∵a>2,∴ ,
令f′(x)>0,即 ,
∵x>0,∴0<x<1或 ,
所以函数f(x)的单调递增区间是(0,1),
(Ⅱ)解法一:当a=4时,
所以在点P处的切线方程为
若函数 存在“类对称点”P(x0,f(x0)),
则等价于当0<x<x0时,f(x)<g(x),
当x>x0时,f(x)>g(x)恒成立.
①当0<x<x0时,f(x)<g(x)恒成立,
等价于 恒成立,
即当0<x<x0时, 恒成立,
令 ,则φ(x0)=0,
要使φ(x0)<0在0<x<x0恒成立,只要φ(x)在(0,x0)单调递增即可.
又∵ ,
∴ ,即
.
②当x>x0时,f(x)>g(x)恒成立时, .…(10分)
∴ .…(11分)
所以y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为 .
(Ⅱ)解法二:
猜想y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为 .下面加以证明:
当 时,
①当 时,f(x)<g(x)恒成立,
等价于 恒成立,
令
∵ ,∴函数φ(x)在
上单调递增,
从而当 时,
恒成立,
即当 时,f(x)<g(x)恒成立.
②同理当 时,f(x)>g(x)恒成立.
综上知y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为 .
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数,结合a的范围求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)法一:a=4时,求出f(x)的导数,得到切线方程根据新定义问题等价于当0<x<x0时,f(x)<g(x),结合函数的单调性求出即可;
法二:猜想y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为 ,然后加以证明即可.
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【题目】已知椭圆 的离心率为
,且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M, O为坐标原点,直线 的斜率分别为
若成等差数列,求直线l的方程.
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【题目】已知等差数列{an}的前n(n∈N*)项和为Sn , a3=3,且λSn=anan+1 , 在等比数列{bn}中,b1=2λ,b3=a15+1. (Ⅰ)求数列{an}及{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{cn}的前n(n∈N*)项和为Tn , 且 ,求Tn .
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【题目】设D为不等式组 ,表示的平面区域,点B(a,b)为第一象限内一点,若对于区域D内的任一点A(x,y)都有
成立,则a+b的最大值等于( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】已知函数f(x)=sin2ωx﹣ (ω>0)的周期为
,若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a>0),所得图象关于原点对称,则实数a的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=2 ,AD=
,M为DC的中点,将△DAM沿AM折到△D′AM的位置,AD′⊥BM.
(1)求证:平面D′AM⊥平面ABCM;
(2)若E为D′B的中点,求二面角E﹣AM﹣D′的余弦值.
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率是
,且过点
.直线y=
x+m与椭圆C相交于A,B两点. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求△PAB的面积的最大值;
(Ⅲ)设直线PA,PB分别与y轴交于点M,N.判断|PM|,|PN|的大小关系,并加以证明.
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