【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率是
,且过点
.直线y=
x+m与椭圆C相交于A,B两点. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求△PAB的面积的最大值;
(Ⅲ)设直线PA,PB分别与y轴交于点M,N.判断|PM|,|PN|的大小关系,并加以证明.
【答案】解:(Ⅰ)设椭圆 =1(a>b>0)的半焦距为c,
由椭圆C的离心率是e= =
=
,即a2=2b2,
将点 代入椭圆方程:
.解得
,
∴椭圆C的方程为 ;.[(4分)]
(Ⅱ)由 ,消去y,整理得x2+
mx+m2﹣2=0.
令△=2m2﹣4(m2﹣2)>0,解得﹣2<m<2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=﹣ m,x1x2=m2﹣2.
∴丨AB丨= =
,
点 .到直线x﹣
y+
m=0的距离为d=
=
.
∴△PAB的面积S= 丨AB丨d=
丨m丨
,
= ≤
,
当且仅当m=± 时,S=
.
则△PAB的面积的最大值 ;
(Ⅲ)丨PM丨=丨PN丨.证明如下:
设直线PA,PB的斜率分别是k1,k1,
则k1+k2= +
=
,
由(Ⅱ)得(y1﹣1)(x2﹣ )+(y2﹣1)(x1﹣
),
=( x1+m﹣1)(x2﹣
)+(
x1+m﹣1)(x1﹣
),
= x1x2+(m﹣2)(x1+x2)﹣2
(m﹣1),
= (m2﹣2)+(m﹣2)(﹣
m)﹣2
(m﹣1)=0,
∴直线PA,PB的倾斜角互补.
∴∠1=∠2,
∴∠PMN=∠PNM.
∴丨PM丨=丨PN丨.
【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率公式,求得a2=2b2,将P代入椭圆方程,即可求得a和b的值;(Ⅱ)将直线方程代入椭圆方程,由△>0,求得m的取值范围,利用韦达定理,弦长公式,根二次函数的性质,即可求得△PAB的面积的最大值;(Ⅲ)设直线PA,PB的斜率分别是k1,k1,根据韦达定理和直线的斜率公式求得k1+k2=0,则∠PMN=∠PNM,则丨PM丨=丨PN丨.
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx,其中常数a>0. (Ⅰ)当a>2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)设定义在D上的函数y=h(x)在点P(x0 , h(x0))处的切线方程为l:y=g(x),若 >0在D内恒成立,则称P为函数y=h(x)的“类对称点”.当a=4时,试问y=f(x)是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在五面体ABCDEF中,面CDE和面ABF都为等边三角形,面ABCD是等腰梯形,点P、Q分别是CD、AB的中点,FQ∥EP,PF=PQ,AB=2CD=2.
(1)求证:平面ABF⊥平面PQFE;
(2)若PQ与平面ABF所成的角为 ,求三棱锥P﹣QDE的体积.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数),圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y+4=0.以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求l的普通方程与C的极坐标方程;
(2)已知l与C交于P,Q,求|PQ|.
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【题目】已知函数f(x)=(x2+ax﹣a)e1﹣x , 其中a∈R. (Ⅰ)求函数f'(x)的零点个数;
(Ⅱ)证明:a≥0是函数f(x)存在最小值的充分而不必要条件.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PC⊥平面ABCD,点E在棱PA上.
(Ⅰ)求证:直线BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若PC∥平面BDE,求证:AE=EP;
(Ⅲ)是否存在点E,使得四面体A﹣BDE的体积等于四面体P﹣BDC的体积的 ?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|+ (a≠0).
(1)若a=1,解关于x的不等式f(x)≥|x﹣2|;
(2)若不等式f(x)﹣f(x+m)≤1恒成立,求正数m的最大值.
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【题目】已知等比数列{an}的公比q=2,前3项和是7,等差数列{bn}满足b1=3,2b2=a2+a4 . (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列 的前n项和Sn .
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