Question

【题目】如图，在五面体ABCDEF中，面CDE和面ABF都为等边三角形，面ABCD是等腰梯形，点P、Q分别是CD、AB的中点，FQ∥EP，PF=PQ，AB=2CD=2．
（1）求证：平面ABF⊥平面PQFE；
（2）若PQ与平面ABF所成的角为 ，求三棱锥P﹣QDE的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，

∵ABF为正三角形，且Q为AB的中点，∴FQ⊥AB，

在等腰梯形ABCD中，∵P、Q分别是CD、AB的中点，

∴PQ⊥AB，又FQ∩PQ=Q，∴AB⊥平面PEFQ，

又AB面ABF，∴平面ABF⊥平面PQFE

（2）解：取FQ中点O，连接PO，∵PQ=PF，∴PO⊥QF，

又平面ABF⊥平面PQFE，且平面ABF∩平面PQFE=QF，

∴PO⊥平面ABF，则∠PQO为PQ与平面ABF所成的角为 ，

∵等边三角形ABF的边长为2，∴QF= ，则OQ= ，则OP= ．

∴ ，

则 ．

【解析】（1）由ABF为正三角形，且Q为AB的中点，可得FQ⊥AB，再由已知得PQ⊥AB，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PEFQ，再由面面垂直的判定可得平面ABF⊥平面PQFE；（2）取FQ中点O，连接PO，可得∠PQO为PQ与平面ABF所成的角为 ，求出OP= ．得到三角形QPE的面积，然后利用等积法求得三棱锥P﹣QDE的体积．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．