【题目】已知等差数列{an}的前n(n∈N*)项和为Sn , a3=3,且λSn=anan+1 , 在等比数列{bn}中,b1=2λ,b3=a15+1. (Ⅰ)求数列{an}及{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{cn}的前n(n∈N*)项和为Tn , 且 ,求Tn .
【答案】解:(Ⅰ)∵λSn=anan+1,a3=3,∴λa1=a1a2,且λ(a1+a2)=a2a3,
∴a2=λ,a1+a2=a3=3,①
∵数列{an}是等差数列,∴a1+a3=2a2,即2a2﹣a1=3,②
由①②得a1=1,a2=2,∴an=n,λ=2,
∴b1=4,b3=16,∴{bn}的公比q= =±2,
∴ 或bn=(﹣2)n+1.
(Ⅱ)由(I)知 ,∴
=
,
∴Tn=
=1+ ﹣
﹣
= .
【解析】(I)分别令n=1,2列方程,再根据等差数列的性质即可求出a1,a2得出an,计算b1,b3得出公比得出bn;(II)求出cn,根据裂项法计算Tn.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系,以及对数列的通项公式的理解,了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】已知椭圆 的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合,且椭圆的离心率是
,如图所示.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A,过点A作抛物线的切线l,l与椭圆的另一个交点为B,求线段AB的长.
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【题目】近期“共享单车”在全国多个城市持续升温,某移动互联网机构通过对使用者的调查得出,现在市场上常见的八个品牌的“共享单车”的满意度指数如茎叶图所示:
(Ⅰ)求出这组数据的平均数和中位数;
(Ⅱ)某用户从满意度指数超过80的品牌中随机选择两个品牌使用,求所选两个品牌的满意度指数均超过85的概率.
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【题目】将圆 为参数)上的每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的
倍,得到曲线C.
(1)求出C的普通方程;
(2)设直线l:x+2y﹣2=0与C的交点为P1 , P2 , 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1平面ABCD),若M、O分别为线段A1C、DE的中点,则在△ADE翻转过程中,下列说法错误的是( )
A.与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直
B.异面直线BM与A1E所成角是定值
C.一定存在某个位置,使DE⊥MO
D.三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值
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【题目】经国务院批复同意,郑州成功入围国家中心城市,某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分(满分100分),得到如图1所示茎叶图.
(Ⅰ)分别计算男生女生打分的平均分,并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况;
(Ⅱ)如图2按照打分区间[0,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]绘制的直方图中,求最高矩形的高;
(Ⅲ)从打分在70分以下(不含70分)的同学中抽取3人,求有女生被抽中的概率.
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx,其中常数a>0. (Ⅰ)当a>2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)设定义在D上的函数y=h(x)在点P(x0 , h(x0))处的切线方程为l:y=g(x),若 >0在D内恒成立,则称P为函数y=h(x)的“类对称点”.当a=4时,试问y=f(x)是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在五面体ABCDEF中,面CDE和面ABF都为等边三角形,面ABCD是等腰梯形,点P、Q分别是CD、AB的中点,FQ∥EP,PF=PQ,AB=2CD=2.
(1)求证:平面ABF⊥平面PQFE;
(2)若PQ与平面ABF所成的角为 ,求三棱锥P﹣QDE的体积.
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