Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PC⊥平面ABCD，点E在棱PA上．
（Ⅰ）求证：直线BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PC∥平面BDE，求证：AE=EP；
（Ⅲ）是否存在点E，使得四面体A﹣BDE的体积等于四面体P﹣BDC的体积的 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥BD，

因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，

因为PC∩AC=C，所以BD⊥平面PAC．

（Ⅱ）设AC与BD交点为O，连接OE，

因为平面PAC∩平面BDE=OE，PC∥平面BDE，

所以PC∥OE，

又由ABCD是菱形可知O为AC中点，

所以，在△PAC中， ，

所以AE=EP．

（Ⅲ）在△PAC中过点E作EF∥PC，交AC于点F，

因为PC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．

由ABCD是菱形可知S△ABD=S△BDC，

假设存在点E满足 ，即 ，则 ，

所以在△PAC中， ，

所以 ．

【解析】（Ⅰ）推导出PC⊥BD，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC．（Ⅱ）设AC与BD交点为O，连接OE，推导出PC∥OE，由ABCD是菱形可知O为AC中点，利用 ，能证明AE=EP．（Ⅲ）在△PAC中过点E作EF∥PC，交AC于点F，由ABCD是菱形可知S△ABD=S△BDC，由此利用 ，能求出结果．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．