【题目】如图,是一个三棱锥,
是圆的直径,
是圆上的点,
垂直圆所在的平面,
,
分别是棱
,
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若二面角是
,
,求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)可证,
,再利用
可得
,
,从而可证
平面
.
(2)可证为二面角
的平面角,再以
为坐标原点,
,
,
方向分别为
轴,
轴,
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
. 求出平面
的法向量和直线
的方向向量后可求
与平面
所成角的正弦值.
(1)因为是圆的直径,所以
.
因为垂直圆所在的平面,且
在该平面中,所以
.
因为,
分别是棱
,
的中点,
所以,所以
,
又因为,所以有
平面
.
(2)由(1)可知,,
,
所以为二面角
的平面角,
从而有,则
.
又,
,得
.
以为坐标原点,
,
,
方向分别为
轴,
轴,
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
.
则,
,
,
,
,
,
,
,
.
设是平面
的法向量,则
即可取
.
故.
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
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【题目】在如图所示的几何体中,侧面ABCD为矩形,侧面DEFG为平行四边形,AB=1,AD=2,AG∥BF,AB⊥BF,AG=3,BF=5,二面角D﹣AB﹣F的大小为60°.
(1)证明,平面CDE⊥平面ADG
(2)求直线BE与平面ABCD所成角的大小
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【题目】已知函数在
处的切线方程为
.
(1)求函数的解析式;
(2)若关于的方程f(x)=kex(其中e为自然对数的底数)恰有两个不同的实根,求实数
的值.
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【题目】某校将一次测试中高三年级学生的数学成绩统计如下表所示,在参加测试的学生中任取1人,其成绩不低于120分的概率为.
分数 | |||||||
频数 | 40 | 50 | 70 | 60 | 80 | 50 |
(1)求的值;
(2)若按照分层抽样的方法从成绩在、
的学生中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行错题分析,求这2人中至少有1人的分数在
的概率.
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【题目】如图甲,AD,BC是等腰梯形CDEF的两条高,,点M是线段AE的中点,将该等腰梯形沿着两条高AD,BC折叠成如图乙所示的四棱锥P-ABCD(E,F重合,记为点P).
甲 乙
(1)求证:;
(2)求点M到平面BDP距离h.
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【题目】某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”.现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次,用表示活动推出的天数,
表示每天使用扫码支付的人次,统计数据如下表所示:
(1)根据散点图判断,在推广期内,扫码支付的人次关于活动推出天数
的回归方程适合用
来表示,求出该回归方程,并预测活动推出第
天使用扫码支付的人次;
(2)推广期结束后,商场对顾客的支付方式进行统计,结果如下表:
支付方式 | 现金 | 会员卡 | 扫码 |
比例 |
商场规定:使用现金支付的顾客无优惠,使用会员卡支付的顾客享受折优惠,扫码支付的顾客随机优惠,根据统计结果得知,使用扫码支付的顾客,享受
折优惠的概率为
,享受
折优惠的概率为
,享受
折优惠的概率为
.现有一名顾客购买了
元的商品,根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率,估计该顾客支付的平均费用是多少?
参考数据:设,
,
,
参考公式:对于一组数据,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.
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