【题目】已知函数.
(1)当时,求
的最大值;
(2)若只有一个极值点
.
(i)求实数的取值范围;
(ii)证明:.
【答案】(1) 最大值为-1. (2) (i)(ii)证明见解析
【解析】
(1)当时,
,令
,利用导数求得函数的单调性,即可求得函数的最大值;
(2)由,得到
,分
和
讨论,求得函数的单调性与最值,结合函数的性质,即可得到答案.
(1)当时,
,
.
令,则
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减
∴,故
的最大值为-1.
(2),
.
①当时,
在
恒成立,则
在
单调递增.
而,当
时,
,
则,且
,∴
使得
.
∴当时,
,则
单调递减;
当时,
,则
单调递增,∴
只有唯一极值点
.
②当时,
当时,
,则
单调递增;
当时,
,则
单调递减,∴
.
(i)当即
时,
在
恒成立,则
在
单调递减,无极值点,舍去.
(ii)当即
时,
.
又,且
,∴
使得
.
由(1)知当时,
,则
∴
则,且
,∴
使得
.
∴当时,
,则
单调递减;
当时,
,则
单调递增;
当时,
,则
单调递减.
∴有两个极值点
,
,舍去.
综上,只有一个极值点时,
∵,∴
,
∴,
.
令,∴
,则
在
单调递减
∴当时,
,∴
.
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【题目】汽车是碳排放量比较大的行业之一,欧盟规定,从2015年开始,将对排放量超过130g/km的
型新车进行惩罚(视为排放量超标),某检测单位对甲、乙两类
型品牌抽取5辆进行
排放量检测,记录如下(单位:g/km):
甲 | 80 | 110 | 120 | 140 | 150 |
乙 | 100 | 120 | x | y | 160 |
经测算发现,乙品牌车排放量的平均值为
.
(Ⅰ)从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆,则至少有一辆排放量超标的概率是多少?
(Ⅱ)若乙类品牌的车比甲类品牌的的排放量的稳定性要好,求x的范围.
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【题目】如图,是一个三棱锥,
是圆的直径,
是圆上的点,
垂直圆所在的平面,
,
分别是棱
,
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若二面角是
,
,求
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,点满足方程
.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)作曲线C关于轴对称的曲线,记为
,在曲线C上任取一点
,过点P作曲线C的切线l,若切线l与曲线
交于A,B两点,过点A,B分别作曲线
的切线
,证明
的交点必在曲线C上.
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【题目】某市一中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩(满分150分),现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示:
(1)根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数,并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好?
(2)将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整;
(3)现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩,设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为,求
的分布列及数学期望.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
(
为参数),将曲线
上的所有点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的
后得到曲线
;以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线和直线
的直角坐标方程;
(2)已知,设直线
与曲线
交于不同的
、
两点,求
的值.
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【题目】已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=________.
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