【题目】在平面直角坐标系xOy中,点满足方程
.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)作曲线C关于轴对称的曲线,记为
,在曲线C上任取一点
,过点P作曲线C的切线l,若切线l与曲线
交于A,B两点,过点A,B分别作曲线
的切线
,证明
的交点必在曲线C上.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)将方程两边平方化简即得解;
(2)求出曲线在处的切线方程,联立直线与抛物线方程,消去
,列出韦达定理,设
,
,分别求出曲线
上在
,
两点处的切线
,
的方程,求出
,
的交点,即可得证.
(1)由,
两边平方并化简,得,
即,
所以点M的轨迹C的方程为.
(2)由(1)及题意可知曲线:
,
又由知
,
所以点处的切线方程为
,
即,
又因为点在曲线C上,
所以,
所以切线方程为,
联立消去
整理得
,
,
设,
,
所以,
,(*)
又由,得
,
所以曲线上点
处的切线
的方程为
,
即,
同理可知,曲线上点
处的切线
的方程为
,
联立方程组,
又由(*)式得,
所以,
的交点为
,此点在曲线C上,
故,
的交点必在曲线C上.
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【题目】血药浓度(Plasma Concentration)是指药物吸收后在血浆内的总浓度,药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间,已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:
根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,正确的个数是( )
①首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用
②每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒
③每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用
④首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒
A.0个B.1个C.2个D.3个
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【题目】某校将一次测试中高三年级学生的数学成绩统计如下表所示,在参加测试的学生中任取1人,其成绩不低于120分的概率为.
分数 | |||||||
频数 | 40 | 50 | 70 | 60 | 80 | 50 |
(1)求的值;
(2)若按照分层抽样的方法从成绩在、
的学生中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行错题分析,求这2人中至少有1人的分数在
的概率.
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【题目】如图甲,AD,BC是等腰梯形CDEF的两条高,,点M是线段AE的中点,将该等腰梯形沿着两条高AD,BC折叠成如图乙所示的四棱锥P-ABCD(E,F重合,记为点P).
甲 乙
(1)求证:;
(2)求点M到平面BDP距离h.
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【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
,
为参数),曲线
的参数方程为
(
为参数),直线
与曲线
交于
,
两点.
(1)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线
的极坐标方程;
(2)若,点
,求
的值.
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【题目】已知圆,圆
,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设不经过点的直线l与曲线C相交于A,B两点,直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2,证明:直线l过定点.
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