Question

在平面直角坐标系中，已知定点F（1，0），点在轴上运动，点在轴上，点
为平面内的动点，且满足，．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设点是直线：上任意一点，过点作轨迹的两条切线，，切点分别为，，设切线，的斜率分别为，，直线的斜率为，求证：．

Answer 1

（1），（2）详见解析.

解析试题分析：（1）求动点轨迹方程，分四步。第一步，设所求动点坐标，设点，，．第二步，建立等量关系，由可知，点是的中点，所以即所以点，．所以，．由，可得，第三步，化简等量关系，即．第四步，去杂或确定取值范围，本题就是（2）证明三直线斜率关系，实质研究其坐标关系. 设点，则过点的直线，联立方程，整理得．则，化简得．所以．又，故．
【解】（1）设点，，．
由可知，点是的中点，
所以即所以点，．
所以，．       3分
由，可得，即．
所以动点的轨迹的方程为．     5分

（2）设点，
由于过点的直线与轨迹：相切，
联立方程，整理得．    7分
则，
化简得．
显然，，是关于的方程的两个根，所以．
又，故．
所以命题得证．                                           10分
考点：轨迹问题的求解方法、直线和抛物线方程的位置关系