Question

20．已知函数f（x）=lg（x²+ax+b）的定义域为A，$g（x）=\sqrt{k{x^2}+4x+k+3}$的定义域为B．
（1）若B=R，求k的取值范围；
（2）若（∁_RA）∩B=B，（∁_RA）∪B={x|-2≤x≤3}，求实数a，b的值及实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，结合根式的意义进行求解即可．
（2）根据集合的运算建立方程即可．

解答 解：（1）因为B=R?kx²+4x+k+3≥0恒成立，k=0时，4x+3≥0不恒成立；
k≠0时，由$\left\{\begin{array}{l}k＞0\\△=16-4k（k+3）≤0\end{array}\right.$，
解得k≥1，
综上，k∈[1，+∞）．
（2）因为（C_RA）∩B=B，所以，B⊆（C_RA），
所以（C_RA）∪B=C_RA={x|-2≤x≤3}
所以A={x|x＜-2或x＞3}，即x²+ax+b＞0的解集为{x|x＜-2或x＞3}．
所以有$\left\{\begin{array}{l}-2+3=-a\\-2×3=b\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-6\end{array}\right.$；
因为B={x|kx²+4x+k+3≥0}且B⊆{x|-2≤x≤3}，
所以k＜0，设方程kx²+4x+k+3=0的两根分别为x₁，x₂，则x₁x₂∈[-2，3]，
令h（x）=kx²+4x+k+3，则应有$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\ h（-2）≤0\\ h（3）≤0\\-2≤-\frac{2}{k}≤3\end{array}\right.$$⇒-4≤k≤-\frac{3}{2}$，
所以k的取值范围是$[-4，-\frac{3}{2}]$．

点评 本题主要考查集合的基本运算，根据函数成立的条件求出函数的定义域是解决本题的关键．