Question

【题目】已知数列{an}满足a1= ，an+1= （n∈N*）．
（1）设bn= ﹣1，证明：数列{bn}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an；
（2）记数列{nbn}的前n项和为Tn ， 求证：Tn＜4．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an+1= （n∈N*），

∴ = = + ，

整理得： ﹣1= （ ﹣1），

∵bn= ﹣1，

∴数列{bn}是公比为 的等比数列，

又∵b1= ﹣1=2﹣1=1，

∴bn= ﹣1= ，

∴an= =

（2）证明：由（1）可知nbn=n ，

则Tn=1 +2 +3 +…+n ，

Tn=1 +2 +3 +…+（n﹣1） +n ，

两式相减得： Tn=1+ + + +…+ ﹣n

= ﹣n

=2﹣ ，

∴Tn=2（2﹣ ）=4﹣ ＜4

【解析】（1）通过对an+1= 两边同时取倒数可知 = + ，变形可知 ﹣1= （ ﹣1），进而可知数列{bn}是公比为 的等比数列，通过求出数列{bn}的通项公式可知数列{an}的通项公式；（2）通过（1）可知nbn=n ，进而利用错位相减法计算、放缩即得结论．
【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．