Question

13．已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象如图，则函数$y={log_2}（{x^2}+\frac{2}{3}bx+\frac{c}{3}）$的单调递减区间是（　　）

• A． （-∞，-2）
• B． （-∞，1）
• C． （-2，4）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由图象得到f′（-2）=f（3）=0，联立求得b，c的值，由g（x）＞0求得x的范围，再由二次函数的性质求出函数g（x）的减区间，则函数y的单调递减区间可求．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，∴f′（x）=3x²+2bx+c，∴$\left\{\begin{array}{l}{1-4b+c=0}\\{27+6b+c=0}\end{array}\right.$，
由图可知f′（-2）=f（3）=0，∴解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-18}\end{array}\right.$，
∵y=log₂（x²+$\frac{2}{3}$bx+$\frac{c}{3}$）═log₂（x²-x-6），令g（x）=x²-x-6=（x+2）•（x-3）．
本题即求当g（x）＞0时，g（x）的减区间．
由二次函数的性质可得当g（x）＞0时，g（x）的减区间为（-∞，-2），
故选：A．

点评 本题考查复合函数的函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，关键是注意函数的定义域，是中档题．