Question

已知函数f（x）=x²+ax+b
（1）若对任意的实数x都有f （1+x）=f （1-x） 成立，求实数 a的值；
（2）若f（x）为偶函数，求实数a的值；
（3）若f（x）在[1，+∞）内递增，求实数a的范围．

Answer 1

解：（1）∵f（1+x）=f（1-x）
∴y=f（x）的图象关于直线x=1对称
∴即a=-2
（2）∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）对于一切实数x恒成立
即（-x）²+a（-x）+b=x²+ax+b
∴2ax=0
∴a=0
（3）∵f（x）在[1，+∞）内递增
∴
∴a≥-2
即实数a的范围为[-2，+∞）
分析：（1）由已知中对任意的实数x都有f （1+x）=f （1-x） 成立，结合函数的对称性，我们易得到函数的图象的对称轴为直线x=1，结合二次函数的性质我们可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出实数 a的值；
（2）根据偶函数的定义，我们可得f（-x）=f（x）恒成立，代入即可构造一个关于实数a的方程，解方程即可求出实数 a的值；
（3）f（x）在[1，+∞）内递增，则表示区间[1，+∞）在函数对称轴的右侧，由此可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出实数 a的范围．
点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次函数的图象和性质构造出关于a的方程（或不等式是解答本题的关键）．