Question

在数列中，a₁＝2，a_n＋1＝4a_n－3n＋1，n∈N^*.
(1)证明数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和S_n；
(3)证明不等式S_n＋1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立

Answer 1

(1)证明：由题设a_n＋1＝4a_n－3n＋1，得
a_n＋1－(n＋1)＝4(a_n－n)，n∈N_＋.
又a₁－1＝1，所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知a_n－n＝4^n－1，于是数列的通项公式为
a_n＝4^n－1＋n.
所以数列的前n项和S_n＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N_＋，
S_n＋1－4S_n
＝＋－4
＝－(3n²＋n－4)≤0.
所以不等式S_n＋1≤4S_n，对任意n∈N_＋皆成立  

略