【题目】如图,已知是直角梯形,
,
垂直于平面
,
,
.
(1)求直线与平面
所成角的正弦值;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的正切值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
解法1:(1)根据已知利用线面垂直的判定定理可以证明出平面
,根据
可以得到
到平面
的距离等于
到平面
的距离,最后利用线面角的定义求出直线
与平面
所成角的正弦值;
(2)延长,
,设
点是它们的交点,连接
,则所求二角角延展为二面角
.利用线面垂直的判定定理、二面角的定义可以证明出
是二面角
的平面角,最后利用正切函数的定义求出平面
与平面
所成锐二面角的正切值.
解法2:如图,以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,建立空间直角坐标系
.
(1)利用空间向量夹角公式求出直线与平面
所成角的正弦值;
(2)利用空间向量夹角公式求出平面与平面
所成锐二面角的余弦值,再根据同角的三角函数的关系式求出平面
与平面
所成锐二面角的正切值.
解法1:(1)因为,
,所以
平面
,于是
到平面
的距离为
.
因为,所以
到平面
的距离等于
到平面
的距离等于
.
由题设,所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
(2)延长,
,设
点是它们的交点,连接
,则所求二角角延展为二面角
.
因为,
,所以
平面
.在平面
内过
作
于点
,连接
,所以有
,因此有
平面
,所以
,于是
是二面角
的平面角.
由题设,,所以AF=
,所以tan∠AFD=
.
故平面与平面
所成二面角的正切值为
.
解法2:(1)如图,以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,建立空间直角坐标系
.
由已知得,
,
,
,
,
.
平面的一个法向量为
.因为
,
因此直线与平面
所成角的正弦值为
.
(2)设平面的法向量为
,
.由
,
得
,
可取.取平面
的法向量为
.
所以.所以
,
由图知平面与平面
所成二面角锐二面角,所以正切值为
.
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【题目】已知函数(
,
)为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为
.
(1)当时,求
的单调递减区间;
(2)将函数的图象沿
轴方向向右平移
个单位长度,再把横坐标缩短到原来的
(纵坐标不变),得到函数
的图象.当时
,求函数
的值域.
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【题目】在平面真角坐标系xOy中,曲线的参数方程为
(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立根坐标系.曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若曲线与曲线
交于M,N两点,直线OM和ON的斜率分别为
和
,求
的值.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
,若点
在椭圆C上,则点
称为点M的一个“椭点”.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线与椭圆C相交于A,B两点,且A,B两点的“椭点”分别为P,Q,以PQ为直径的圆经过坐标原点,试判断
的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.
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【题目】已知椭圆:
的左、右顶点分别为
,
,圆
上有一动点
,
在
轴上方,点
,直线
交椭圆
于点
,连接
,
.
(1)若,求
的面积
;
(2)设直线,
的斜率存在且分别为
,
,若
,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆过点
,
是该椭圆的左、右焦点,
是上顶点,且
是等腰直角三角形.
(1)求的方程;
(2)已知是坐标原点,直线
与椭圆
相交于
两点,点
在
上且满足四边形
是一个平行四边形,求
的最大值.
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【题目】设是椭圆
上的点,
是焦点,离心率
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设是椭圆上的两点,且
,问线段
的垂直平分线是否过定点?若过定点,求出此定点的坐标,若不过定点,说明理由.
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【题目】如图是函数的部分图象,将函数f(x)的图象向右平移
个单位长度得到g(x)的图象,给出下列四个命题:
①函数f(x)的表达式为;
②g(x)的一条对称轴的方程可以为;
③对于实数m,恒有;
④f(x)+g(x)的最大值为2.其中正确的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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