【题目】四棱锥
中，底面
为矩形， 
.侧面
底面
.
（1）证明： 
；
（2）设
与平面
所成的角为
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】【试题分析】（1）设
中点为
，连接
，由已知
，所以
，根据面面垂直的性质定理，有
平面
，以
为原点， 
为
轴， 
为
轴，建立空间直角坐标系，计算
可得证.（2）设
，利用直线
和平面
所成角为
，计算
，再利用平面
和平面
的法向量计算二面角的余弦值.
【试题解析】
解：（1）证法一：设
中点为
，连接
，
由已知
，所以
，
而平面
平面
，交线为
故
平面
以
为原点， 
为
轴， 
为
轴，如图建立空间直角坐标系，并设
，
则
所以
，所以
.
证法二：设
中点为
，连接
，由已知
，所以
，
而平面
平面
，交线为
故
平面
，从而
①
在矩形
中，连接
，设
与
交于
，
则由
知
，所以
所以
，故
②
由①②知
平面
所以
.
（2）由
，平面
平面
，交线为
，可得
平面
，
所以平面
平面
，交线为
过
作
，垂足为
，则
平面
与平面
所成的角即为角
所以
从而三角形
为等边三角形， 
（也可以用向量法求出
，设
，则
，可求得平面
的一个法向量为
，而
，由
可解得
）
设平面
的一个法向量为
，则
，
， 可取
设平面
的一个法向量为
，则
，
，可取
于是
，
故二面角
的余弦值为
.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某地
户家庭的年收入
（万元）和年饮食支出
（万元）的统计资料如下表：
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（1）求
关于
的线性回归方程；（结果保留到小数点后
为数字）
（2）利用（1）中的回归方程，分析这
户家庭的年饮食支出的变化情况，并预测该地年收入
万元的家庭的年饮食支出.（结果保留到小数点后
位数字）
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
， 
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】平面直角坐标系
中，圆
的圆心为
.已知点
，且
为圆
上的动点，线段
的中垂线交
于点
.
（Ⅰ）求点
的轨迹方程；
（Ⅱ）设点
的轨迹为曲线
，抛物线
： 
的焦点为
.
， 
是过点
互相垂直的两条直线，直线
与曲线
交于
， 
两点，直线
与曲线
交于
， 
两点，求四边形
面积的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知四棱锥
， 
平面
，底面
中， 
， 
，且
， 
为
的中点．
（1）求证：平面
平面
；
（2）问在棱
上是否存在点
，使
平面
，若存在，请求出二面角
的余弦值；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】微信是当前主要的社交应用之一，有着几亿用户，覆盖范围广，及时快捷，作为移动支付的重要形式，微信支付成为人们支付的重要方式和手段。某公司为了解人们对“微信支付”认可度，对
年龄段的人群随机抽取
人进行了一次“你是否喜欢微信支付”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组号 | 分组 | 喜欢微信支付的人数 | 喜欢微信支付的人数 占本组的频率 |
第一组 |
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第二组 |
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第三组 |
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第四组 |
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第五组 |
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第六组 |
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（1）补全频率分布直方图，并求
， 
， 
的值；
（2）在第四、五、六组“喜欢微信支付”的人中，用分层抽样的方法抽取
人参加“微信支付日鼓励金”活动，求第四、五、六组应分别抽取的人数；
（3）在（2）中抽取的
人中随机选派
人做采访嘉宾，求所选派的
人没有第四组人的概率.
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