Question

【题目】平面直角坐标系中，圆的圆心为.已知点，且为圆上的动点，线段的中垂线交于点.

（Ⅰ）求点的轨迹方程；

（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，抛物线： 的焦点为.， 是过点互相垂直的两条直线，直线与曲线交于， 两点，直线与曲线交于， 两点，求四边形面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）四边形面积的取值范围是.

【解析】试题分析;(1)根据中垂线的几何性质得到 ，由椭圆的定义的到轨迹方程为；（2），联立直线和椭圆得到二次方程，由弦长公式分别求得AC和BD，进而求得面积表达式，再由换元法得到最值.

解析：

（Ⅰ）∵为线段中垂线上一点，

∴ ，

∵， ，∵，

∴的轨迹是以， 为焦点，长轴长为的椭圆，

它的方程为.

（Ⅱ）∵的焦点为，

的方程为，

当直线斜率不存在时， 与只有一个交点，不合题意.

当直线斜率为时，可求得， ，

∴.

当直线斜率存在且不为时，

方程可设为，代入得

， ，

设， ，则， ，

.

直线的方程为与可联立得，

设， ，则，

∴四边形的面积

.

令，则，

，

∴在是增函数， ，

综上，四边形面积的取值范围是.