Question

19．已知直线y=mx与函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0.5{x}^{2}+1，x＞0}\\{2-（\frac{1}{3}）^{x}，x≤0}\end{array}\right.$的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （$\sqrt{3}$，4）
• B． （$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （$\sqrt{2}$，5）
• D． （$\sqrt{3}$，2$\sqrt{2}$ ）

Answer 1

分析 做出f（x）的函数图象，判断直线与f（x）相切时的斜率即可得出m的范围．

解答 解：做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知当m≤0时，y=mx与f（x）只有一个交点，不符合题意；
设直线y=kx与y=f（x）的图象相切，
则方程0.5x²+1-kx=0只有一解，
∴△=k²-2=0，解得k=$\sqrt{2}$或k=-$\sqrt{2}$（舍）．
∴当m＞$\sqrt{2}$时，y=mx与f（x）有3个交点．
故选B．

点评 本题考查了函数的零点个数与函数图象的关系，属于中档题．