Question

10．设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则tanθ=$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ-2cosθ=$\sqrt{5}$，与sin²θ+cos²θ=1联立即可求出cosθ的值和sinθ的值，即可求出答案

解答 解：f（x）=sinx-2cosx=$\sqrt{5}$（$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinx-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosx）=$\sqrt{5}$sin（x-α）（其中cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，
∴sin（θ-α）=1，即sinθ-2cosθ=$\sqrt{5}$＞0，
又sin²θ+cos²θ=1，
联立得（2cosθ+$\sqrt{5}$）²+cos²θ=1，解得cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴tanθ=$-\frac{1}{2}$，
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．