Question

已知向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），设函数f（x）=

m

•

n

-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=1，a=

3

且b+c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、周期公式即可得出；
（II）利用（I）可得A，再利用余弦定理和三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），
∴函数f（x）=

m

•

n

-3
=

3

sin2x+2+2cos2x-3
=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)．
故函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）由f（A）=1得，2sin(2A+

π

6

)=1，即sin(2A+

π

6

)=

1

2

．
∵0＜A＜π，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

．
由余弦定理得：a²=b²+c²-2abcosA=（b+c）²-3bc，
∵a=

3

且b+c=3，
∴3=3²-3bc，解得bc=2．
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×sin

π

6

=

3

2

．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、周期公式、余弦定理和三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．