Question

6．由0、1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位数，问：
（1）其中大于2000的数有多少个？
（2）其中大于2000的偶数有多少个？

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析可得这个2000的四位数的其千位数字可以为2、3、4、5，有4种情况，进而在剩余的5个数字中任取3个，安排在其他3个数位，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，分析可得这个2000的四位数的其千位数字可以为2、3、4、5，有4种情况，则按照其千位数字的不同分4种情况讨论，求出每种情况下的四位数的个数，由分类计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，要求大于2000的四位数的个数，
大于2000的四位数的千位数字必须大于等于2，则这个数字的千位数字可以为2、3、4、5，有4种情况；
在剩余的5个数字中任取3个，安排在其他3个数位，有A₅³=60种选法，
则大于2000的四位数有4×60=240个；
（2）根据题意，要求大于2000的四位偶数的个数，则这个数字的千位数字可以为2、3、4、5，则分4种情况讨论：
1、当千位数字为2时，个位数字可以为0或4，有2种情况，
在剩余的4个数字中任取2个，安排在其他2个数位，有A₄²=12种选法，
即当千位数字为2时，有2×12=24个大于2000的四位偶数，
2、同理当千位数字为4时，有24个大于2000的四位偶数，
3、当千位数字为3时，个位数字可以为0或2或4，有3种情况，
在剩余的4个数字中任取2个，安排在其他2个数位，有A₄²=12种选法，
即当千位数字为2时，有3×12=36个大于2000的四位偶数，
4、同理当千位数字为5时，有36个大于2000的四位偶数，
则一共有24+24+36+36=120个四位偶数．

点评 本题考查排列、组合的运用，解题时注意“大于2000”的数字的特征，由此对四位数的千位数字进行分类讨论．