Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点P为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且有IG=λ

F1F2

（λ为实数），斜率为1的直线l经过点F₁，且与圆x²+y²=1相切，则椭圆的方程为（　　）

• A、

  x2

  8

  +

  y2

  6

  =1
• B、

  x2

  6

  +

  y2

  4

  =1
• C、

  x2

  9

  +

  y2

  7

  =1
• D、

  x2

  10

  +

  y2

  8

  =1

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：在焦点△F₁PF₂中，设P（x₀，y₀），由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，因为

IG

=λ

F1F2

，故内心I的纵坐标与G相同，最后利用三角形F₁PF₂的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可得到a与c的关系；再由斜率为1的直线l经过点F₁，且与圆x²+y²=1相切，得到c的值，进而求得a与b的值，得到椭圆的方程．

解答：解：设P（x₀，y₀），∵G为△F₁PF₂的重心，
∴G点坐标为 G（

x0

3

，

y0

3

），
∵

IG

=λ

F1F2

，∴IG∥x轴，
∴I的纵坐标为

y0

3

，
在焦点△F₁PF₂中，|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴S△F1PF2=

1

2

•|F₁F₂|•|y₀|
又∵I为△F₁PF₂的内心，∴I的纵坐标为

y0

3

即为内切圆半径，
内心I把△F₁PF₂分为三个底分别为△F₁PF₂的三边，高为内切圆半径的小三角形
∴S△F1PF2=

1

2

•（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）|

y0

3

|
∴

1

2

•|F₁F₂|•|y₀|=

1

2

（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）|

y0

3

|
即

1

2

×2c•|y₀|=

1

2

（2a+2c|）|

y0

3

|，
∴2c=a，
∵斜率为1的直线l经过点F₁，∴直线l的方程为x-y+c=0
又∵直线l与圆x²+y²=1相切，∴d=

|c|

1+1

=1，解得c=

2

故a=2c=2

2

，b²=a²-c²=6
则椭圆的方程为

x2

8

+

y2

6

=1
故选：A．

点评：本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用，直线与圆的位置关系．