Question

16．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，sin（x-$\frac{π}{6}$）），$\overrightarrow{b}$=（sinx，cos（x+$\frac{π}{3}$）），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的解析式及周期；
（2）求f（x）在x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积公式得出f（x），利用二倍角公式，诱导公式及两角和差的三角函数化简；
（2）根据x的范围得出2x-$\frac{π}{6}$的范围，根据正弦函数的单调性得出f（x）的最值．

解答 解：（1）f（x）=sin²x+sin（x-$\frac{π}{6}$）cos（x+$\frac{π}{3}$）=sin²x-sin²（x$-\frac{π}{6}$）
=$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{1-cos（2x-\frac{π}{3}）}{2}$=$\frac{1}{2}$[cos（2x-$\frac{π}{3}$）-cos2x]
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值$\frac{1}{2}×（-1）$=-$\frac{1}{2}$．
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴f（x）在x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上的值域是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．