Question

已知x，y∈R，2x+3y=13，则x²+y²+1的最小值为______．

Answer 1

解法1：根据解析几何的性质可知，2x+3y=13表示直线的方程，
则x²+y²表示直线上的点到原点的距离的平方，
由于原点到直线2x+3y=13距离为直线的点到原点的最短距离，
故x²+y²的最小值为（

|-13|

4+9

）²=13，
则x²+y²+1的最小值为14；
解法2：因为2x+3y=13，
所以利用柯西不等式得
（x²+y²）（2²+3²）≥（2x+3y）²，
即13（x²+y²）≥13²，
即x²+y²≥13，
当且仅当

3x=2y 2x+3y=13

即

x=2 y=3

时取等号，
即x²+y²的最小值为13．
则x²+y²+1的最小值为14．
故答案为：14