Question

7．甲参加一组投掷保龄球比赛，掷3次，已知甲击中10球的概率是$\frac{1}{4}$，击中9球的概率是$\frac{1}{4}$，击中8球的概率是$\frac{1}{2}$，击中球的个数等于所得到的分数．
（Ⅰ）求甲得到27分的概率；
（Ⅱ）若甲得到的分数是ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）判断3×9=27，10+9+8=27，得出甲得到27分的概率为（$\frac{1}{4}$）³+${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{4}$${×C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$，
（2）利用给出的数据得出：甲得到的分数是ξ=24，25，26，27，28，29，30，求解概率得出分布列，数学期望．

解答 解：∵设x₁=10，x₂=9，x₃=8，
∴P（x₁）=$\frac{1}{4}$，P（x₂）=$\frac{1}{4}$，P（x₃）=$\frac{1}{2}$，
（1）∵3×9=27，10+9+8=27
∴甲得到27分的概率为（$\frac{1}{4}$）³+${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{4}$${×C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{13}{64}$，
（2）∵甲得到的分数是ξ=24，25，26，27，28，29，30，
∴P（ξ=24）=${C}_{3}^{3}$×（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=25）=${C}_{3}^{2}$（$\frac{1}{2}$）²×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{16}$，
P（ξ=26）=${C}_{3}^{2}$（$\frac{1}{4}$）²×$\frac{1}{2}$+${C}_{3}^{2}$（$\frac{1}{2}$）²×$\frac{1}{4}$=$\frac{9}{32}$，
P（27）=$\frac{13}{64}$
P（ξ=28）=${C}_{3}^{2}$×（$\frac{1}{4}$）²×$\frac{1}{2}$+${C}_{3}^{2}$×（$\frac{1}{4}$）²×$\frac{1}{4}$=$\frac{9}{64}$，
P（ξ=29））=${C}_{3}^{2}$×（$\frac{1}{4}$）²×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{64}$，
P（ξ=30）=${C}_{3}^{3}$×（$\frac{1}{4}$）³=$\frac{1}{64}$，

ξ	24	25	26	27	28	29	30
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{9}{32}$	$\frac{13}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{1}{64}$

E（ξ）=24×$\frac{1}{8}$$+25×\frac{3}{16}$$+26×\frac{9}{32}$$+27×\frac{13}{64}$$+28×\frac{9}{64}$$+29×\frac{3}{64}$$+30×\frac{1}{64}$=26.25

点评 本题考查了离散型的概率问题在实际问题中的应用，关键是确定随机变量的数据及构成因素，得出概率分布，属于中档题．