Question

【题目】已知点到抛物线C：y2=2px准线的距离为2．

（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；

（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB，分别交x轴于M，N两点，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；（Ⅱ）2

【解析】

（Ⅰ）根据抛物线定义求出p，即可求C的方程及焦点F的坐标；
（Ⅱ）设点A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(1,2)，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k(x+1)2(k≠0)，与抛物线联立可得ky2-4y+4k-8=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF||NF|的值．

(Ⅰ)由已知得，所以p=2.

所以抛物线C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；

(II)设点A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(1,2)，

由题意直线AB斜率存在且不为0.

设直线AB的方程为y=k(x+1)2(k≠0).

由得，

则,.

因为点A,B在抛物线C上,所以

,.

因为PF⊥x轴，

所以

，

所以|MF||NF|的值为2.