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    【题目】已知抛物线：的焦点为，抛物线上的点到准线的最小距离为2.

    （1）求抛物线的方程；

    （2）若过点作互相垂直的两条直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，，分别为弦，的中点，求的最小值.

    【答案】（1）；（2）32.

    【解析】

    （1）根据题意，解得答案.

    （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立方程解得，，则，利用均值不等式得到答案.

    （1）因为抛物线上的点到准线的最小距离为2，所以，解得，

    故抛物线的方程为.

    （2）焦点为，，所以两直线，的斜率都存在且均不为0.

    设直线的斜率为，则直线的斜率为，

    故直线的方程为，联立方程组

    消去，整理得.

    设点.，则.

    因为为弦的中点，所以.

    由，得，故点.

    同理可得.

    故，.

    所以，当且仅当，即时，等号成立.

    所以的最小值为32.

    练习册系列答案
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    【题目】电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解A，B两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A，B两个型号的电动摩托车各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：

    电动摩托车编号

    1

    2

    3

    4

    5

    A型续航里程（km）

    120

    125

    122

    124

    124

    B型续航里程（km）

    118

    123

    127

    120

    a

    已知A，B两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等.

    （1）求a的值；

    （2）求A型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小；

    （3）从被测试的电动摩托车中随机抽取A，B型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过122km的概率.

    （注：n个数据，的方差，其中为数据的平均数）

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    【题目】已知点到抛物线C：y2=2px准线的距离为2．

    （Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；

    （Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB，分别交x轴于M，N两点，求的值．

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    【题目】（本小题满分12分）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．

    （Ⅰ）求抛物线的方程；

    （Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．

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    【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

    （1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

    （2）若直线与曲线相交于、两点，求的面积.

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    【题目】三棱柱中，平面平面，，点为棱的中点，点为线段上的动点.

    （1）求证：；

    （2）若直线与平面所成角为，求二面角的正切值.

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    【题目】某校要从甲、乙两名同学中选择一人参加该市组织的数学竞赛，已知甲、乙两名同学最近7次模拟竞赛的数学成绩（满分100分）如下:

    甲:79，81，83，84，85，90，93；

    乙：75，78，82，84，90，92，94.

    （1）完成答题卡中的茎叶图；

    （2）分别计算甲、乙两名同学最近7次模拟竞赛成绩的平均数与方差，并由此判断该校应选择哪位同学参加该市组织的数学竞赛.

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    【题目】某公司的甲、乙两名工程师因为工作需要，各自选购一台笔记本电脑.该公司提供了三款笔记本电脑作为备选，这三款笔记本电脑在某电商平台的销量和用户评分如下表所示：

    型号

    销量（台）

    2000

    2000

    4000

    用户评分

    8

    6.5

    9.5

    若甲选购某款笔记本电脑的概率与对应的销量成正比，乙选购某款笔记本电脑的概率与对应的用户评分减去5的值成正比，且他们两人选购笔记本电脑互不影响.

    （1）求甲、乙两人选购不同款笔记本电脑的概率；

    （2）若公司给购买这三款笔记本电脑的员工一定的补贴，补贴标准如下表：

    型号

    补贴（千元）

    3

    4

    5

    记甲、乙两人获得的公司补贴之和为千元，求的分布列和数学期望.

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