【题目】下列命题中是假命题的是( )
A. ,函数都不是偶函数
B. ,
C. ,使
D. 若向量,则在方向上的投影为2
【答案】A
【解析】
利用三角函数的奇偶性,单调性,向量投影概念等对四个选项逐一进行判断,可以得到正确的结论.
选项A,当φ=时,f(x)=sin(2x+φ)=cos2x是偶函数,故A错误;
选项B,由0<α<,可得sinα、α、tanα都是正实数,设f(α)=α-sinα,求导f′(α)=1-cosα>0,f(α)=α-sinα在α∈(0,)上是增函数,则有f(α)=α-sinα>f(0)=0,即sinα<α.同理,令g(α)=tanα-α,则g′(α)=,所以,g(α)=tanα-α在α∈(0,)上也是增函数,有g(α)=tanα-α>g(0)=0,即tanα>α.综上,当α∈(0,)时,sinα<α<tanα.故B正确;
选项C,当β=0时,sinβ=0,cos(α+β)=cosα=cosα+sinβ,故C正确;
选项D,根据向量数量积的几何意义知,向量在上的投影为,故D正确;
故选:A.
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【题目】已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线相交于不同的两点, ,与抛物线的准线相交于不同的两点, ,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点, ,且满足.证明直线过定点,并求出点的坐标.
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【题目】某校进行了一次创新作文大赛,共有100名同学参赛,经过评判,这100名参赛者的得分都在之间,其得分的频率分布直方图如图,则下列结论错误的是
A. 得分在之间的共有40人
B. 从这100名参赛者中随机选取1人,其得分在的概率为
C. 这100名参赛者得分的中位数为65
D. 估计得分的众数为55
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【题目】现有编号为1,2,3,…,100的100把锁,利用中国剩余定理的原理设置开锁密码,规则为:将锁的编号依次除以3,5,7所得的三个余数作为该锁的开锁密码,这样,每把锁都有一个三位数字的开锁密码.例如,编号为52的锁所对应的开锁密码是123,开锁密码为232所对应的锁的编号是23.若一把锁的开锁密码为203,则这把锁的编号是__________.
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【题目】2020年1月22日,国新办发布消息:新型冠状病毒来源于武汉一家海鲜市场非法销售的野生动.专家通过全基因组比对发现此病毒与2003年的非典冠状病毒以及此后的中东呼吸综合征冠状病毒,分别达到70%和40%的序列相似性.这种新型冠状病毒对人们的健康生命带来了严重威胁因此,某生物疫苗研究所加紧对新型冠状病毒疫苗进行实验,并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验,得到统计数据如下:
未感染病毒 | 感染病毒 | 总计 | |
未注射疫苗 | 20 | ||
注射疫苗 | 30 | ||
总计 | 50 | 50 | 100 |
现从所有试验小白鼠中任取一只,取到“注射疫苗”小白鼠的概率为.
(1)求列联表中的数据,,,的值;
(2)能否有99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效?
附:.
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】
为了了解高中新生的体能情况,某学校抽取部分高一学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),图中从 左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3,第二小组频数为12﹒
[来
(Ⅰ)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?
(Ⅱ)若次数在110以上(含110次)为达标,试估计该学校全体高一学生的达标率是多少?
(Ⅲ)在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内?请说明理由.
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